【百科】X射線衍射儀（X射線應力測定）的物理基礎：衍射幾何與應力-應變關系的深度推導

更新時間：2025-11-18 | 點擊率：72

　　X射線應力測定技術的核心，在于通過精確測量晶面間距的變化來反演宏觀應力。其物理基礎深植于布拉格定律與彈性力學理論的結合。

　　一、衍射幾何的基石：布拉格定律

　　該技術的前提是布拉格定律：nλ=2dsinθ。其中，λ是已知的X射線波長，θ是衍射角，d是特定晶面（hkl）的間距。在無應力狀態下，材料具有特定的晶面間距d?和對應的衍射角θ?。當材料存在應力時，晶格會發生彈性應變，導致d發生變化（變為dψ），從而引起衍射角θψ的移動。通過測量θψ的變化，我們就能精確計算出晶面間距的相對變化，即應變：

　　εψ=(dψ-d?)/d?≈-cotθ?·(θψ-θ?)

　　二、應力-應變關系的深度推導：從晶格到宏觀

　　上述測得的是特定方向（與樣品表面法向呈ψ角的方向）的晶格應變εψ。為了將其與宏觀應力相關聯，我們需借助彈性力學。

　　假設與模型：通常假設材料為連續、各向同性的多晶體，并處于平面應力狀態（σ??=0）。此時，根據廣義胡克定律，在樣品坐標系下，任意方向的應變εψ與主應力（σ??,σ??）的關系可以推導出來。

　　關鍵公式：sin²ψ法：

　　推導結果是建立了測量方向應變εψ與應力張量分量之間的關系。對于給定的晶面法向與樣品表面法向的夾角ψ，其關系式可簡化為：

　　εψ=[(1+ν)/E]σφsin²ψ-[ν/E](σ??+σ??)

　　其中，E是楊氏模量，ν是泊松比，σφ是樣品表面上與測角儀轉動軸呈φ角方向的應力（σφ=σ??cos²φ+σ??sin²φ+τ??sin2φ）。

　　應力計算：

　　此公式表明，對于固定的φ方向，εψ與sin²ψ呈線性關系。通過在不同ψ角下測量一系列衍射角θψ，計算出對應的εψ，再對sin²ψ進行線性擬合。擬合直線的斜率M即為：

　　M=[(1+ν)/E]σφ

　　因此，我們最終可以計算出該方向的實際應力：